第六章　标准误与可信区间

第一节　抽样误差与标准误

　　一、抽样误差的意义

　　在第一章第二节曾提到过样本与总体以及抽样误差的概念，那里谈到，由于存在人与人之间的个体差异，即使从同一总体用同样方法随机抽取例数相同的一些样本，各样本算得的某种指标，如平均数（或率），通常也参差不齐存在一定的差异。样本指标与相应的总体指标之间有或多或少的相差，这一点是不难理解的。如某医生从某地抽了120名12岁男孩，测量其身高，计算出均数为143.10cm，若再从该地抽120名12岁男孩，其平均身高未必仍等于143.10cm，也不一定恰好等于某市12岁男孩身高的总体均数，这种差异，即由于抽样而带来的样本与总体间的误差，统计上叫抽样波动或抽样误差。

　　抽样误差和系统误差不一样，关系系统误差，当人们一旦发现它之后，是可能找到产生原因而采取一定措施加以纠正的，抽样误差则无法避免。因为客观上既然存在个体差异，那么刚巧这一样本中多抽到几例数值大些的，所求样本均数就会稍大，另一样本多抽到几例数值小些，该样本均数就会稍小，这是不言而喻的。

　　抽样误差既是样本指标与总体指标之间的误差，那么抽样误差小就表示从样本算得的平均数或率与总体的较接近，有样本代表总体说明其特征的可靠性亦大。但是，通常总体均数或总体率我们并不知道，所以抽样误差的数量大小，不能直观地加以说明，只能通过抽样实验来了解抽样误差的规律性。

　　二、标准误及其计算

　　为了表示个体差异的大小，或者说表示某一变量变异程度的大小，可计算标准差等变异指标来说明，现在我们要表示抽样误差的大小，如要问，从同一总体抽取类似的许多样本，各样本均数（或各率）之间的变异程度如何？也可用变异指标来说明。这种指标是：

　　（一）均数的标准误　为了表示均数的抽样误差大小如何，用的一种指标称为均数的标准误。我们以样本均数为变量，求出它们的标准差即可表示其变异程度，所以将样本均数这“标准差”定名为均数的标准误，简称标准误，以区别于通常所说的标准差。标准差表示个体值的散布情形，而标准误则说明样本均数的参差情况，两者不能混淆。下面用抽样实验进一步说明之。

　　将100名正常人的红细胞数（万/mm³）写在100颗大小均匀的豌豆上。这些红细胞数见表6.1，其均数为500，标准差为43。把这些豌豆放在一个口袋里，彻底混匀后取出一颗，记下红细胞数，放回袋内，混匀后再取出一颗，记下数字后再放回去，如此继续下去，这是一个取不完的总体，这样每取10个数字作为一个样本，共抽取了一百个样本，并计算每一样本的均数与标准差，例见表6.2。

表6.1　 红细胞数抽样实验用的正态总体

μ=500 σ=43（单位：万/立方厘米）

表6.2　红细胞数抽样实验中的样本举例

　　第一号样本均数与标准差的计算：

　　X＝4.886/10=488.6

　　将一百个样本均数加总，得到的数值为50,096.7,又这一百个样本均数平方之和为25,114，830.91，于是代入标准差的计算公式，求得一百个样本均数的标准差又称标准误为

　　当总体标准差已知时，可计算理论的标准误σ_χ，公式是

　(6.1)

　　表6.1抽样实验用的总体标准差是43，每个样本的例数是10，代入公式得

　　可见由一百个样本均数求得的标准误13.50与理论的标准误13.60比较接近。

　　在实际工作中，总体标准差往往并不知道，也不象抽样实验那样从同一总体随机抽取n相等的许多样本，而是只有手头一个样本。在此情况下，只能以样本标准差S作为总体标准差σ的估计值。这样，公式6.1中的σ就要用S代替，σ_χ改为S_χ，以资区别。

　(6.2)

　　将第1号样本的标准差及例数代入式6.2，得

　　再若将第2号样本的数字代入，S_χ将成为10.74，余类推。由于不同样本的标准差并不相等，可见S_χ也有抽样波动，这一点是值得注意的，但它仍不失为σ_χ的较好估计值。

　　以上介绍了求标准误的三种方法，其实我们平常用的只是式6.2，而通过前两种方法的对比则可使我们明瞭标准误的含义。标准误是描述样本均数变异情况的一个指标，它的大小与总体标准差σ（一般只能用S估计）成正比，而与样本含量n的平方根成反比，因此若标准差小或样本含量大时，求出的标准误就小（标准误小表示样本均数与总体均数较接近），X代表μ较可靠，所以假若手头资料中观察值的变异程度较大（S大）时，为了保

　　证样本代表总体比较可靠，就得适当增大样本含量（n）。

　　（二）率的标准误　若总体包括某事件的发生数与未发生数两类，所化成的比例或成数即为总体发生率（符号π）与未发生率（１-π）。从总体中随机抽取许多样本(n相等)，算出各个样本率（用P表示），会是或大或小有波动的。为了表示样本率之间或样本率与总体率之间的差异程度，当总体率π已知时，可计算理论的标误σ_p,其公式是

(6.3)

　　实际工作中往往不知道总体率π这时只能以样本率P作为总体率π的估计值，求得率的标准误，并用S_P表示，计算公式为

　　(6.4)

　　现举例说明其求法。

　　例6.1　某医生检测了110名成年健康人的尿紫质，发现阳性者11人，阴性者99人，于是算得阳性率P及率的标准误S_P如下：

　　P=11/110×100%=10%　（用小数表示为0.10）

　　若要进一步增强样本率估计总体率的可靠性，可加大样本含量。

　　三、样本均数的分布

　　从同一总体里随机抽取n相同的许多样本，这些样本均数吴正态分布。如前面所述正常人红细胞数的抽样实验中已求得100个样本均数，其中多数与总体均数μ比较接近而集中分布在其周围，且左右基本对称，见表6.3（此表由表6.4中的100个均数划记归组而得）。

表6.3　红细胞抽样实验中100个样本均数的分布

表6.4　一百个样本的均数、标准差、95%可信区间

　　已知按正态分布，理论上有95%的变量值分布在均数加、减1.96倍标准差（样本均数的标准差称标准误）的范围内，这里也即100个样本均数中有95个分布在500－1.96(13.60)=473.34至500+1.96(13.60)=526.66的范围内。现看表6.4，在100个样本均数中，第6号（546.7）、第72号（465.3）、第97号(530.1)在上述范围之外，第42号(526.4)及第75号(526.6)就在临界值附近，其余95个（若将第42及75号计算在内则为97个）样本均数在此范围之内，将实际分布与理论分布相对照见下表6.5。100个样本均数的实际分布与正态分布的理论基本符合。